La respuesta vinculada es un poco desordenada, y es un desorden común para la gente.

Cuando hablamos de las frecuencias exactas de cada clase de tono, tenemos que conocer el temperamento y un tono de referencia. Por ejemplo, el temperamento igual de 12 tonos (12TET) con A4 = 440Hz es un estándar en la música moderna. A partir de esos dos parámetros, podemos extrapolar la frecuencia exacta de cada nota posible.

12TET es casi omnipresente hoy en día (al menos en la música occidental), pero no suena tan limpio como Just Intonation (JI) . En esencia, 12TET ha hecho que cada tecla suene igualmente imperfecta. JI crea una escala en la que los intervalos en los acordes primarios son proporciones simples muy agradables, por lo que los acordes suenan muy limpiamente, pero solo funciona en esa clave. Nota importante: dentro de una afinación JI dada, cada una de las 12 clases de tono todavía tiene una sola frecuencia. No hay diferencia entre C♯ y D ♭ en, digamos, "Afinación pitagórica basada en A, con A = 440Hz".

Pero la mayoría de la música no se queda en un tono. Si bien un piano no puede realizar ajustes de tono sobre la marcha (por eso hemos acordado usar 12TET para ello), la mayoría de los instrumentos de una orquesta sí pueden. Entonces, cuando la pieza está en La mayor, la orquesta usará JI y ajustará C♯ para que sea un poco más plana de lo que sería si usara 12TET. Pero luego, si la pieza se modula a F♯ menor, comenzarán a tocarla ligeramente aguda.

Cuando la gente dice que C♯ no es lo mismo que D ♭, lo que realmente quieren decir (si se dan cuenta o no) es que el contexto puede generar diferentes microajustes. En C mayor, un C♯ podría ser la tercera de un acorde de A mayor, quizás un dominante secundario del acorde de ii, mientras que D ♭ podría ser la raíz del acorde napolitano. Esto daría como resultado diferentes opciones de ajuste.

(editado a partir de sugerencias de comentarios, algunos comentarios ahora están huérfanos)

La respuesta corta es que para el temperamento igual de 12 tonos (12TET), el sistema de afinación de facto para la música occidental, Db y C # son exactamente la misma nota que suena . Exactamente la frecuencia con la que suena esa nota para una octava determinada también depende de la referencia de tono, que normalmente es A4 = 440Hz.

De acuerdo con 12TET, dividimos la octava en 12 proporciones iguales. Dado que una octava es una proporción de 2: 1, la proporción de una nota f1 a la nota 1 semitono más alta f2 , se calcula como f2 = f1 * 2 ^ (1/12) con 2 ^ (1/12) ~ = 1.059463 .

Si bien este es, con mucho, el sistema de ajuste más común que encontrará ( en un contexto occidental al menos), es solo un enfoque de ajuste, y es relativamente moderno en comparación con muchas alternativas que puede encontrar, incluido el sistema pitagórico mencionado en la pregunta a la que hizo referencia (que, como sugiere su homónimo, tiene miles de años) .

El sistema de afinación de Pitágoras toma el enfoque de determinar cada nota calculando la quinta perfecta usando la proporción de 3: 2, o 1.5 veces la frecuencia de referencia. Además de ser una relación simple, este sistema de afinación es realmente muy fácil de implementar porque esa frecuencia exacta (estrictamente 3: 1, una octava arriba de 3: 2) ya estará presente en la serie armónica de la nota de referencia para la mayoría de instrumentos musicales. (instrumentos de cuerda y viento, incluida la voz humana). Este es ciertamente el caso de los violinistas, que afinan sus cuerdas (que son quintas perfectamente separadas) por este método.

Sin embargo, una quinta perfecta bajo la afinación pitagórica es de aproximadamente 702 centavos, a diferencia de exactamente 700 centavos en 12TET. Si continúa afinando de esta manera para siempre nunca volverá a alcanzar el mismo tono . Al sintonizar alrededor del círculo de quintas, acumulará fracciones con potencias mayores de tres 3 ^ n sobre potencias mayores de dos 2 ^ m y no hay forma de que fracción siempre será igual a 1 (el tono de referencia) excepto cuando m = n = 0 , es decir, el tono de referencia con el que empezaste .

Si calculamos las proporciones de G (dado que G es el tono más alejado de C # / Db en ambas direcciones), subir en quintas se vería así:

G -> D (3/2) -> A (9/4) -> E (27/8) -> B (81/16) -> F # (243/32) -> C # (729/64)

Si retroceda al revés (es decir, hacia abajo en quintos perfectos), se ve así:

G -> C (2/3) -> F (4/9) -> Bb (27/8) -> Eb (16/81) -> Ab (32/243) -> Db (64/729)

Si normalizamos las fracciones resultantes para que ocurran dentro de la misma octava, resulta ser C # en 729/1024 ~ = 0.71191 vs Db en 512/729 ~ = 0.70233 , que obviamente sonará diferente. Calculé la diferencia entre estas notas en 23.46 centavos, no en los 41 centavos mencionados en la pregunta de referencia.

Para poner estos números en perspectiva, si asumimos que A es 440Hz, entonces podemos determinar la referencia G como dos quintos perfectos a 8/9 x 440 o ~ 391.11Hz. Usando este G, podemos encontrar el Db y C # de Pitágoras directamente debajo de ese G usando las relaciones anteriores en ~ 274.689Hz y ~ 278.436Hz respectivamente. Compare esto con 12TET con A4 = 440Hz, tendríamos G justo debajo a ~ 391.995Hz y el Db / C # enarmónico a ~ 277.183Hz.

Es poco probable que se encuentre con una situación en la que C # y Db realmente suenen incluso a 23,46 centavos de diferencia por varias razones. La primera y más obvia razón es que 12TET es omnipresente en los contextos musicales occidentales. La mayoría de los instrumentos modernos con trastes (guitarras / bajos) e instrumentos de teclado (piano, órgano, etc.) están afinados de acuerdo con 12TET.

Incluso en el raro caso de que tenga una colección de vocalistas tocando a capella, como como en un cuarteto de barbería, es probable que no se alejen demasiado de la afinación convencional gracias a la memoria tonal. Básicamente, incluso las personas sin un tono perfecto pueden tener algo de memoria de los tonos, de modo que los sistemas de afinación más 'naturales', como el pitagórico, se verán modificados por su memoria de los tonos 12TET que probablemente hayan escuchado toda su vida.

Como ya se dijo,

• La publicación sobre la que preguntaste se refiere específicamente a C♯ y D ♭ en Afinación pitagórica .
• La discrepancia de 41 ct es incorrecto, no tengo idea de cómo sucedió ^{Vea a continuación} .
• La afinación pitagórica es solo uno de los múltiples sistemas de entonación justa.

Entonces, de hecho, no solo C♯ y D ♭ son notas diferentes, en realidad hay varias notas diferentes a las que podría llamar C♯. Para dar una mejor idea de las diferentes opciones, aquí hay una descripción general de cómo se pueden construir estas notas en los diferentes sistemas de afinación utilizando relaciones de frecuencia enteras, siempre comenzando desde C, y cómo se comparan los resultados con 12-edo.

http://nbviewer.jupyter.org/gist/leftaroundabout/b0708139f867a160579f14c0b04caeb8

Pitágoras, hacia arriba

Construido solo desde quintos puros hacia arriba y cuartos hacia abajo (o equivalentemente, solo quintos hacia arriba con compensación de octava).

  onKeyboard $ constructNote PreferSharps [3/2, 3/4, 3/2, 3/4, 3/2, 3 / 4, 3/4]  

Pitágoras, hacia abajo

Quintas hacia abajo y cuartos hacia arriba .

  onKeyboard $ constructNote PreferFlats [4/3, 4/3, 2/3, 4/3, 2/3]  

Ya ves, esta D ♭ es 24 quilates más plana que la C♯ pitagórica.

Ptolemaica, hacia arriba

Construida a partir de quintas y solo tercios mayores hacia arriba / cuartos hacia abajo.

  onKeyboard $ contra tructNote PreferSharps [3/2, 3/4, 5/4, 3/4]  

Tenga en cuenta que esto es más plano que el tono de 12 edo. ¡De hecho, está mucho más cerca de la D ♭ de Pitágoras que de la C de Pitágoras!

Hay una construcción alternativa que resulta mucho más plana:

  onKeyboard $ constructNote PreferSharps [4/3, 5/4, 5/8]  

Esto es bastante extremo, dudo que ningún músico clásico toque C♯ tan bajo. Pero aquí, como señaló el Sr. Lister en los comentarios, parece que hemos encontrado el 41ct de la respuesta de Dorien, es decir, si comparamos este C♯ con la siguiente opción para D ♭:

Ptolemaico, hacia abajo

Aquí, llegamos a D ♭ muy rápidamente, después de solo un cuarto hacia arriba y un tercio mayor hacia abajo:

  onKeyboard $ constructNote PreferFlats [4/3, 4/5]  

Entonces, qué diablos , puedes preguntar en este punto. ¿Cuál es la versión correcta ahora?

Bueno, ¡depende del contexto! Pero aunque esto se afirma a menudo, para la música clásica occidental, la afinación pitagórica no es muy relevante. Esta música hace un uso intensivo de armonías basadas en acordes mayores , y los acordes mayores solo se hacen sensibles en la afinación ptolemaica , es decir, en proporciones 4: 5: 6, en comparación con 64 de Pitágoras: 81:96. (¡En realidad, nadie puede distinguir de oído razones de frecuencia con números tan altos!)

Por lo tanto, como regla general, puede decir que C♯ es un poco más plano que D ♭ . La literatura lo confirma, p. Ej. Leopold Mozart:

... alle durch das (♭) erniedrigten Töne um ein Komma höher als die durch das (♯) erhöhten Noten. Z.B. Des ist höher als Cis; Tan höher como Gis, Ges höher als Fis usw

Traducción:

Todos los tonos que se bajan con (♭) son una coma más alta que (♯ )-notas elevadas. P.ej. D ♭ es más alto que C♯; A ♭ más alto que G♯, G ♭ más alto que F♯ etc.

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En otras palabras: no existe una regla única que uno pueda aplicar para deducir la frecuencia perfecta para cualquier tono con nombre dado, uno siempre debe escuchar cuidadosamente lo que realmente suena mejor.

Lo primero que debe comprender es que si desea aumentar en un intervalo constante, multiplica la frecuencia por un número en particular.

Por ejemplo, para subir una octava, multiplica la frecuencia por 2. Dado que la multiplicación por 2 es la multiplicación más simple que podemos hacer, esto suena agradable al oído humano, muy agradable, de hecho, que aprendamos a escuchar las dos notas de la misma manera.

Si queremos subir dos octavas, multiplicamos por 2 nuevamente, para un total combinado de 4 veces la frecuencia original. Y así sucesivamente.

Pero hay otros buenos números por los que podemos multiplicar la frecuencia. Si multiplicamos por 3, por ejemplo, subimos una octava y una quinta. Para obtener una quinta, bajamos la octava dividiendo por 2, por lo que una quinta corresponde a multiplicar por un factor de 3/2 .

Si multiplicamos por 5, subimos dos octavas y un tercio mayor. Entonces, un tercio corresponde a multiplicar la frecuencia por un factor de 5/4 .

Tercios, quintos y octavas son fundamentales para la música occidental, y todos los demás intervalos se construyen a partir de ellos. La razón por la que suenan tan agradables y concordantes es porque se construyen a partir de multiplicaciones muy simples.

Por ejemplo, si empezamos en C y multiplicamos por 5/4 , llegamos a E , y si multiplicamos de nuevo por 5/4 subimos otro tercio hasta G♯ . Ahora, si dividimos por 3/2 para bajar un quinto, llegamos a C♯ . El multiplicador total es

5/4 * 5/4 * 2/3 = 25/24 = 1.041666 ...

Si en cambio multiplicamos por 2 , subimos a un C alto. Ahora, si dividimos por 3/2 , bajamos una quinta hasta F . Si ahora dividimos por 5/4 , bajamos un tercio a D ♭ . El multiplicador total es

2 * 2/3 * 4/5 = 16/15 = 1.06666 ...

Dado que estos dos números son tan similares, es fácil confundirse entre las notas C♯ y D ♭ .

'¡Ahora, espera!' Te escucho decir. ' C♯ y D ♭ no son solo notas similares, ¡son la misma nota ! Después de todo, ¡ambos ocupan la misma tecla en el teclado de mi piano! '

Este es en realidad un truco musical muy inteligente. Para que los teclados de piano tengan sentido, no pueden tratar C♯ y D ♭ como notas separadas, al menos no si quieren evitar algo horrible como esto:

esto se conoce como teclado de tecla dividida, del tipo que se usaba en el siglo XVI cuando todavía estaban calculando todo esto

En su lugar, necesitamos aproximar notas para poder hacer una escala usando solo doce tonos diferentes. Así que terminamos teniendo una clave para C♯ y D ♭ . Al presionar esta tecla, podría reproducir un C♯ , podría reproducir un D ♭ o podría reproducir algo intermedio.

Una elección de aproximaciones se llama temperamento , y se utilizaron muchos temperamentos diferentes hasta el período Clásico. El título de 'The Well-Tempered Clavier' de J. S. Bach se refiere a uno de esos temperamentos.

Diferentes músicos tenían diferentes temperamentos preferidos. Una cualidad común era que ciertas teclas (normalmente teclas de 'nota blanca', como Do mayor) sonarían muy puras y concordantes, mientras que otras sonarían más desafinadas y picantes. Esto a veces se consideraba una característica deseable de un temperamento: diferentes teclas tenían diferentes caracteres.

El temperamento que se usa casi universalmente en los pianos modernos es mucho más aburrido, pero también más versátil. Se llama 'Temperamento igual', y su nombre significa que todos los semitonos del teclado tienen exactamente el mismo intervalo de separación. Un semitono de igual temperamento es exactamente una doceava parte de una octava, por lo que corresponde a multiplicar la frecuencia por

la duodécima raíz de 2 = 1.05946309436 ....

(observe cómo se interpone entre 1.041666 y 1.0666 que calculamos antes!)

Ahora, ¿cómo suena una quinta de temperamento igual? Bueno, suena como la duodécima raíz de 2 elevada a la séptima potencia (ya que hay siete semitonos en una quinta perfecta):

2 ^ (7/12) = 1.49830707688 ...

Por una brillante coincidencia matemática, esto es casi exactamente igual a 3/2 . Por lo tanto, no hay una diferencia audible entre una quinta en un piano ( 1.498 ... ) y una quinta que cantarías naturalmente ( 1.5 ).

¿Qué pasa con el tercio mayor? Un tercio mayor son cuatro semitonos, que corresponde a

2 ^ (4/12) = 1.2599 ...

Esto todavía está bastante cerca de 5/4 = 1.25 , pero ahora la diferencia es audible (hay algunas grabaciones de sonido en https://en.wikipedia.org/wiki/Major_third que puede escuchar ). Un tercio mayor en un piano es notablemente diferente de un tercio mayor que cantarías naturalmente.

En general, no tienes que preocuparte demasiado por esto cuando estás haciendo música, pero vale la pena tenerlo en cuenta a veces.

Hay una sintonización pura, donde los intervalos están en relaciones de frecuencia simples, siguiendo la serie armónica. Da acordes muy hermosos, pero solo en una tecla. Cambiar clave, tienes que volver a calibrar. Y los CAMBIOS repentinos de tonalidad, que hacen mucho la música de hoy, pueden sonar un poco extraños. Entonces hay un sistema de compromiso, temperamento igual, donde todos los semitonos son iguales. Nunca está del todo bien, pero no es DEMASIADO mal, y nuestros oídos se han acostumbrado. Eso es lo que usa un piano. ¡Tiene que hacerlo, de verdad!

La frase clave de esa respuesta que se perdió fue "En afinación pitagórica..." Como dice el artículo de Wikipedia,

La llamada "afinación pitagórica" ​​fue utilizada por los músicos hasta principios del siglo XVI. "El sistema pitagórico parecería ser ideal debido a la pureza de las quintas, pero otros intervalos, particularmente la tercera mayor, están tan desafinados que los acordes mayores [pueden considerarse] una disonancia".

Debido al intervalo de lobo, esta afinación rara vez se usa hoy en día, aunque se cree que ha sido generalizada.

Básicamente, la diferencia entre C♯ y D ♭ es principalmente de carácter histórico y teórico. interés hoy. Es precisamente debido a discrepancias inconvenientes como esta diferencia de 41 centavos entre enarmónicos que casi toda la música moderna prefiere otros sistemas de afinación.

John Gowers, en su respuesta, explicó cómo los intervalos C-C♯ y C-D ♭ pueden tener relaciones de frecuencia de 25:24 y 16:15. 25:24 son ~ 70,67 centavos y 16:15 son ~ 111,73 centavos. La diferencia es de 41.06 centavos, reivindicando así el texto citado por el OP.

No debemos asumir la afinación pitagórica, es decir, construir todos los intervalos a partir de octavas y quintas perfectas puras (relación de frecuencia 3: 2). La afinación pitagórica es una posibilidad, pero no es la única disponible.

Aún menos deberíamos asumir 12ET en el que los únicos intervalos posibles son múltiplos de un semitono de 100 centavos.

una consideración general:

• cada frecuencia enarmónica tiene una frecuencia diferente entre sí;

la gente simplemente ignora que la mayoría de los casos, ya sea:

• debido a la impracticabilidad de hacer diferentes tonos, por ejemplo, en un violín o en una flauta o una trompeta, o una guitarra eléctrica, voz lo que sea

simplemente porque eso es físicamente extremadamente difícil de hacer. o:

• porque en un instrumento como un piano, por ejemplo, normalmente los tonos convergen en la misma tonalidad.

pero teóricamente cada tono enarmónico, debería tener su única entonación, que dependiendo de la nota, debería ser:

• 5-10 centavos de distancia máxima entre sí;

Depende de la afinación. En 31-TET, hay 5 pasos de tamaño 5 y 2 pasos de tamaño 3 en la escala de Do mayor. Un sostenido o bemol eleva una nota por tamaño 2 . En consecuencia, C♯ está una octava 31 por debajo de D ♭, lo que hace 1200cent / 31 = 38.7cent de diferencia. Bueno, ya casi está.

La declaración original presumiblemente habla de alguna forma de afinación pitagórica o pura, pero no está claro qué escala y afinación se utilizan para la declaración.